约翰·冯·诺依曼“我是一个数学家”

1957年2月8日，20世纪最重要的科学家之一约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）因癌症在美国逝世。美国科学院曾在他去世前发来问候，并询问他：“你一生中最伟大的三个成就是什么？”要知道，当时人们已经把诺依曼视为“计算机之父”，他提出了世界上第一个通用存储程序计算机的设计方案。此外他与摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）合著的《博弈论与经济行为》被视为博弈论的奠基之作；他曾是美国核威慑计划的协调员，“曼哈顿计划”中最重要的科学家之一，长崎原子弹的缔造者。

诺依曼的回答却出乎人们的意料，他说，“我最重要的贡献是希尔伯特空间自伴算子理论、量子力学的数学基础和遍历性定理。”一语震惊世人。

天才的30岁

控制论的创始人诺伯特·维纳曾说，“数学是年轻人的游戏”，适合一个人在创造力勃发的时期钻研它。对于很多数学天才来说，获得造诣的黄金时期，也就是在30岁之前。诺依曼是20世纪举世公认的天才，而且理所当然地把人生的前30年用在了数学上。

如今关于“天才神童”诺依曼的说法见诸许多传记和报道，比如6岁时就能心算做8位数乘除法，8岁时已经精通微积分，12岁就能读懂并领会波莱尔（Emile Borel）的大作《函数论》。虽然传说种种不可尽信，但我们可以确切地知道的是，诺依曼年轻时在数学上的成就非同一般。

1903年12月28日出生在匈牙利布达佩斯的少年诺依曼，11岁时就被建议从中学辍学回家，原因是老师认为他的数学天赋惊人，在中学简直浪费。诺依曼的父亲是一个富裕的犹太银行家，请来了当时在布达佩斯大学当助教的菲克特对诺依曼进行家庭辅导。

1921年，诺依曼通过高等教育升学考试时，已被人们当作数学家了。他的第一篇论文是和老师菲克特合写的，那时他还不到18岁。作为银行家的父亲希望诺依曼掌握一些“有实际用途”的科学，请人劝阻诺依曼不要专攻数学，后来父子俩达成妥协。诺依曼首先在布达佩斯大学注册为数学专业的学生，但并不听课，只是每年按时参加考试。与此同时，他又进入德国柏林大学，1923年转入瑞士苏黎世联邦工业大学学习化学。1926年他获得了苏黎世联邦工业大学化学学位，同时也获得了布达佩斯大学的数学博士学位。

在柏林和苏黎世期间的诺依曼已经决定投身于数学了，他并没有常去拜访大名鼎鼎的毒气发明家哈伯教授，而是和希尔伯特的学生施密德（Erhard Schmidt）走得很近。1921年至1925年发表的两篇论文《关于引入无穷序数》和《集合论的一种公理化》使这位年轻的本科生名声大震，论文在当时的重量级人物间传阅过，希尔伯特传记的作者认为，从那时起，年轻的诺依曼就成了希尔伯特家的常客。

1926年春，诺依曼来到哥廷根大学担任希尔伯特的助手。此时德国已是量子力学兴起的第一阵地，海森堡、薛定谔刚提出各自的“量子理论”，随后狄拉克将相对论引入量子力学，完成了量子理论的统一。这片新天地对于置身其中的诺依曼来说，无疑是一种巨大的诱惑。1927年，诺依曼已经投身于量子力学，他在希尔伯特的帮助下，发表了论文《量子力学的数学基础》，将经典力学中的精确函数关系用概率关系代替。这使得希尔伯特的元数学在量子力学这个生气勃勃的领域里获得了施展。

在量子力学发展史上，客观地说，狄拉克对量子理论的数学处理是不够严格的，而诺依曼通过对无界算子的研究，发展了希尔伯特算子理论，弥补了这个不足。诺贝尔物理学奖获得者维格纳（Paul Wigner）曾作过如下评价：“对量子力学的贡献，就足以确保诺依曼在当代物理学中的特殊地位。”

在诺依曼早年发表的论文中，希尔伯特空间算子环理论方面的文章大约占了1/3。这也足以看出，他花费了大部分的精力在这个领域。依托算子环理论，诺依曼发展出了一种新的代数和几何，分别被命名为“诺依曼算子代数”和 “连续几何”，后者是一个崭新的领域，普通几何学的维数为整数1、2、3等，而诺依曼提出决定一个空间的维数结构的，实际上是它所容许的旋转群。因而维数可以不再是整数，现在人们可以提到3.75维，而不是第4维。

1932年，即将到达30岁的诺依曼，做出了对纯粹数学领域的最后一个重要贡献：解决了遍历定理的证明。它是20世纪数学分析研究领域中最有影响的成就之一，解决了希尔伯特在1900年那次著名的演说中提出的所谓“紧群的第五问题”。

转变

20世纪30年代，年轻的诺依曼由于才华出众，在学术界越来越引人注目。他先后在柏林大学、汉堡大学担任编外教授，但一直没有正式教授的职位。1930年，诺依曼与玛利埃塔·科维茜结婚，成家立业的压力随之而来，而此时恰逢美国数学家韦伯伦在普林斯顿广罗英才，诺依曼欣然前往，横渡大西洋，应邀来到美国普林斯顿大学担任客座讲师。1933年，普林斯顿成立高级研究院，一共设6个高级教授的名额，诺依曼是其中最年轻的一位，物理学家爱因斯坦是他的同事。

由于纳粹迫害犹太血统的科学家，诺依曼无法再回德国，因而终生在美国定居，并加入了美国国籍。差不多正是从这时候起，诺依曼的科学生涯发生了一个重大转变。在此之前，他是一位通晓物理学的登峰造极的纯粹数学家，此后，则成了一位牢固掌握纯粹数学的出神入化的应用数学家。他的兴趣转移到了两个新领域：博弈论和计算机。

早在20世纪20年代，扑克和国际象棋就引起了哥廷根的数学家们的兴趣，诺依曼在1928年发表论文《团体博弈论》，第一次对博弈做出了完整的数学描述，宣告了博弈论的诞生。在这篇文章中，他证明了“极小极大定理”，这个定理用于处理最基本的二人博弈问题：如果博弈双方中的任何一方，对每种可能的策略，考虑了可能遭到的最大损失，从而选择“最大损失”最小的一种为“最优”策略，那么从统计角度来看，他就能够确保方案是最佳的。

不过在那时，关于这个理论的讨论还是局限在数学的范畴里，针对的也还只是类似象棋与扑克这样的问题，一直到1938年，诺依曼在普林斯顿遇到了同是移民的摩根斯特恩，这个理论与经济学的联系才逐渐加强。